当社には実際には何も関与していない名目だけの取締役がいます。亡くなった父の友人です。このように名目取締役をおいておくことに問題がありますか。

会社が倒産した場合には、たとえ名目取締役でも取締役として登記されていたことから、債権者から善管注意義務違反について責任追及されることがあります。
また、反対に名目的な取締役が、それまでその会社が取締役会を開いていなかったことやその取締役が少数の株を持っているような場合には、株主総会の召集手続きがきちんと履行されていなかったなどとして、会社の決定の無効などを主張してきたり、相当な役員報酬を請求してくることもあります。もちろん、通常から会社法にしたがった運営をしていればいいのですが、何か問題があるとそこが利用されて訴訟になることもあります。商事紛争の過半数が中小企業の共同経営者やその相続人の争い、つまり親族間や知人の間の争いであるというのが実情です。